1. Definujte pojem těleso, zformulujte a dokažte větu "Jedna rovnost stačí" (7+1b)
2. Uvažujme dva podprostory P2P^{2}P2:
U={(a−b+4c)x2,(a+3c)x,(a+2b+c);a,b,c∈R}U = \{(a-b+4c) x^{2}, (a+3c) x, (a+2b+c); a,b,c \in \mathbb{R}\}U={(a−b+4c)x2,(a+3c)x,(a+2b+c);a,b,c∈R}
V={(t−s)x2,(t−s)x,(t+s);t,s∈R}V = \{ (t-s) x^{2}, (t-s) x, (t+s); t,s \in \mathbb{R} \}V={(t−s)x2,(t−s)x,(t+s);t,s∈R}
(a) Rozhodněte, zda U,VU,VU,V jsou izomorfní. Pokud ano, najděte izomorfismus. (2b)
(b) Určete dimenzi a najděte bázi U+VU+VU+V (3b)
(c) Určete dim(U∩V)\dim(U \cap V)dim(U∩V) (1b)
3. Najděte vektor v∈R3v \in \mathbb{R}^{3}v∈R3 tak, aby (1,2,3)∈Ker(f)(1,2,3) \in Ker(f)(1,2,3)∈Ker(f) pro lineární zobrazení definované: (6b)
f(1,1,2)=vf(1,1,2) = vf(1,1,2)=v,
f(1,1,0)=(1,1,0)Tf(1,1,0) = (1,1,0)^{T}f(1,1,0)=(1,1,0)T,
f(2,1,1)=(3,1,2)Tf(2,1,1) = (3,1,2)^{T}f(2,1,1)=(3,1,2)T.
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá (po 2b):
(a) Čtevrcová matice řádu 101010 tvořená z navzájem různých čísel je vždy regulární
(b) Buďte U,VU,VU,V podprostory prostoru WWW s bázemi BU={u1,...,um},BV={v1,...,vn}B_{U} = \{ u_{1}, ... , u_{m} \}, B_{V} = \{ v_{1}, ..., v_{n} \}BU={u1,...,um},BV={v1,...,vn}.
Pokud U∩V=oU \cap V = {o}U∩V=o, pak vektory u1,…,um,v1,…,vnu_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{n}u1,…,um,v1,…,vn jsou lineárně nezávislé.
(c) Buď f:R3→R5f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{5}f:R3→R5 lineární zobrazení. Pak fff není na.
(d) Buď VVV konečně generovaný vektorový prostor a f:V→Vf: V \to Vf:V→V lineární zobrazení.
Pak fff je na pokud obraz libovolné lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá množina.
